Giải bài 3.5 trang 164 SBT giải tích 12

132 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

LG câu a

a) $\int {(1 - 2x){e^x}} dx$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$ .

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {(1 - 2x){e^x}} dx$ $= \left( {1 - 2x} \right){e^x} + \int {2{e^x}dx}$ $= \left( {1 - 2x} \right){e^x} + 2{e^x} + C$ $= \left( {3 - 2x} \right){e^x} + C$

LG câu b

b) $\int {x{e^{ - x}}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$ .

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {x{e^{ - x}}dx}$ $= - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx}$ $= - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C$ $= - \left( {1 + x} \right){e^{ - x}} + C$

LG c

c) $\int {x\ln (1 - x)dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$ .

Giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 - x} \right)\\dv = xdx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \dfrac{1}{{1 - x}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {x\ln (1 - x)dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left( {1 - x} \right)}}dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\left( { - 1 - x + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)dx}$

$= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {\left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + C$

$= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{4}{\left( {1 + x} \right)^2} + C$ .

LG d

d) $\int {x{{\sin }^2}xdx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu}$ .

Giải chi tiết:

Ta có: $\int {x{{\sin }^2}xdx} = \int {x.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx}$ $= \int {\left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}} \right)dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\int {x\cos 2xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $\int {x\cos 2xdx}$ $= \dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \int {\dfrac{{\sin 2xdx}}{2}}$ $= \dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$

Vậy $\int {x{{\sin }^2}xdx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C} \right)$ $= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}x\sin 2x - \dfrac{1}{8}\cos 2x + D$ .

SBT Toán lớp 12