Giải bài 3.2 trang 163 SBT giải tích 12

129 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các hàm số $F(x)$ và $G(x)$ sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

LG câu a

a) $F(x) = \dfrac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}$ và $G(x) = \dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $F\left( x \right) + C$ ( $C$ là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ .

Giải chi tiết:

Vì $F(x) = \dfrac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}$ $= \dfrac{{\left( {{x^2} + 10} \right) + \left( {6x - 9} \right)}}{{2x - 3}}$ $= \dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}} + 3 = G(x) + 3$ nên $F(x)$ và $G(x)$ đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số.

Cụ thể: $G'\left( x \right) = \left( {\dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}} \right)'$ $= \dfrac{{2x\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} + 10} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{2{x^2} - 6x - 20}}{{{{(2x - 3)}^2}}}$ .

LG câu b

b) $F(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ và $G(x) = 10 + {\cot ^2}x$

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Vì $G(x) = 10 + {\cot ^2}x$ $= \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 9$ $= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9$ , nên $F(x)$ và $G(x)$ đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số.

Cụ thể: $\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)' = \dfrac{{ - \left( {{{\sin }^2}x} \right)'}}{{{{\sin }^4}x}}$ $= - \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\sin }^4}x}}$ $= - \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}$

SBT Toán lớp 12