Đề bài
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?
A. 3sin2x−cos2x+5=0
B. x2−5x+6=0
C. x5+x3−7=0
D. 3tanx−4=0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số vế trái, hàm số nào đơn điệu trên R thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Lời giải chi tiết
Đáp án C vì: Xét hàm f(x)=x5+x3−7 có f′(x)=5x4+3x2=x2(5x2+3).
f′(x)=0⇔x=0 và f′(x)≥0,∀x∈R nên hàm số đồng biến trên R.
Mặt khác f(0)=−7<0,f(2)=33>0 nên f(0).f(2)<0.
Hàm số y=f(x) liên tục trên [0;2] nên tồn tại x0∈(0;2) để f(x0)=0 hay phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên R.
Chọn C.
Chú ý:
Cách khác:
+) Phương trình 3sin2x−cos2x+5=0 ⇔3sin2x−(1−sin2x)+5=0 ⇔4sin2x+4=0 ⇔4(sin2x+1)=0 (vô nghiệm vì 0≤sin2x≤1) nên loại A.
+) Các phương trình x2−5x+6=0 và 3tanx−4=0 có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.
Chọn C.
