Giải bài 2.14 trang 60 SBT hình học 12

142 lượt xem

Đề bài

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định tâm mặt cầu, giao của trung trực của SA với trục đường tròn chính (SO).

- Tính bán kính mặt cầu dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết

Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì SA = SB = SC nên ta có $\displaystyle SO \bot (ABC)$ và OS là trục của đường tròn tâm O.

Do đó $\displaystyle SO \bot AO$ . Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.

Ta có $\displaystyle {{SI} \over {SA}} = {{SM} \over {SO}} = {{SA} \over {2SO}}$ với $SI = IA = IB = IC = r$

Vậy $\displaystyle r = SI = {{S{A^2}} \over {2SO}} = {{{a^2}} \over {2h}}$

Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là :

$\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{{a^2}} \over {2h}})^2}$ $\displaystyle = \pi {{{a^4}} \over {{h^2}}}$

SBT Toán lớp 12