Cho hàm số: \(y = \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực.
+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
+ Tìm cực trị (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\),
* Chiều biến thiên:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
+) \(y' = \dfrac{3}{4}{x^2} - 3x\);
\(y' = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^2} - 3x = 0 \) \(\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 12x}}{4} = 0 \) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x\left( {x - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(4; + \infty )\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = 5\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4,{y_{CT}} = - 3\).
Bảng biên thiên:
* Đồ thị:
+) Đồ thị đi qua các điểm \(A\left( { - 2; - 3} \right);B\left( {6;5} \right)\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;5} \right)\).
+) \(y'' = \dfrac{3}{2}x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1\) suy ra điểm uốn \(U\left( {2;1} \right)\).
+) Vẽ đồ thị:
LG b
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-6{x^2} + m = 0\;\) có \(3\) nghiệm thực phân biệt.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về \(\dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5 = 5 - \dfrac{m}{4}\).
- Sử dụng tương quan giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của đường thẳng \(y = 5 - \dfrac{m}{4}\) với đồ thị hàm số vừa vẽ ở ý a để suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
\({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) (1)
\( \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} = - m\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} = - \frac{m}{4}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5 = 5 - \dfrac{m}{4}\)
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = 5 - \dfrac{m}{4}\)
Suy ra \(\left( 1 \right)\) có \(3\) nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi \( - 3 < 5 - \dfrac{m}{4} < 5 \)
\( \Leftrightarrow - 8 < - \frac{m}{4} < 0\) \( \Leftrightarrow - 32 < - m < 0\) \(\Leftrightarrow 0 < m < 32\).
