Cho hàm số: y=14x3−32x2+5
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực.
+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
+ Tìm cực trị (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định:D=R,
* Chiều biến thiên:
+) lim
+) y' = \dfrac{3}{4}{x^2} - 3x;
y' = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 12x}}{4} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - \infty ;0),(4; + \infty ).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( {0;4} \right).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0,{y_{CD}} = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4,{y_{CT}} = - 3.
Bảng biên thiên:
* Đồ thị:
+) Đồ thị đi qua các điểm A\left( { - 2; - 3} \right);B\left( {6;5} \right) và cắt trục Oy tại điểm \left( {0;5} \right).
+) y'' = \dfrac{3}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1 suy ra điểm uốn U\left( {2;1} \right).
+) Vẽ đồ thị:
LG b
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình {x^3}-6{x^2} + m = 0\; có 3 nghiệm thực phân biệt.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5 = 5 - \dfrac{m}{4}.
- Sử dụng tương quan giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của đường thẳng y = 5 - \dfrac{m}{4} với đồ thị hàm số vừa vẽ ở ý a để suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
{x^3} - 6{x^2} + m = 0 (1)
\Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} = - m \Leftrightarrow \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} = - \frac{m}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5 = 5 - \dfrac{m}{4}
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị \left( C \right) và đường thẳng \left( d \right):y = 5 - \dfrac{m}{4}
Suy ra \left( 1 \right) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi - 3 < 5 - \dfrac{m}{4} < 5
\Leftrightarrow - 8 < - \frac{m}{4} < 0 \Leftrightarrow - 32 < - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 32.
