Tìm giá trị của tham số m để hàm số
LG a
y=x3+(m+3)x2+mx−2 đạt cực tiểu tại x=1
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.
- Sử dụng điều kiện x=x0 là điểm cực trị của hàm số thì f′(x0)=0 tìm m.
- Thay m tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra x=x0 có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.
Giải chi tiết:
y′=3x2+2(m+3)x+m
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì: y′(1)=0⇔3m+9=0⇔m=−3
Thử lại, m=−3 thì y=x3−3x−2.
Khi đó, y′=3x2−3=0⇔x=±1.
y″ nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn yêu cầu)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3
LG b
y = - \dfrac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1 đạt cực đại tại x = - 1
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.
- Sử dụng điều kiện x = {x_0} là điểm cực trị của hàm số thì f'\left( {{x_0}} \right) = 0 tìm m.
- Thay m tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra x = {x_0} có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.
Giải chi tiết:
y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3
y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4
Hàm số đạt cực đại tại x = - 1 thì :
y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 1\end{array} \right.
Thử lại,
+) Với m = - 3 ta có y' = 9{x^2} + 12x + 3
\Rightarrow y'' = 18x + 12 \Rightarrow y''\left( { - 1} \right) = - 18 + 12 = - 6\; < 0
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = - 1 (thỏa mãn).
+) Với m = 1 ta có:
y' = - 7{x^2} - 4x + 3 \Rightarrow y'' = - 14x - 4 \Rightarrow y''( - 1) = 10 > 0
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 (loại).
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = - 1 khi m = - 3.
