Chứng minh các bất đẳng thức sau:
LG câu a
a) tanx>sinx, 0<x<π2
Phương pháp giải:
Xét hàm f(x)=tanx−sinx và chứng minh nó đồng biến trên (0;π2).
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Giải chi tiết:
Xét hàm f(x)=tanx−sinx trên khoảng (0;π2) ta có:
f′(x)=1cos2x−cosx =1−cos3xcos2x>0 với ∀x∈(0;π2) vì cosx<1 với mọi x∈(0;π2) nên cos3x<1,∀x∈(0;π2)
Do đó hàm số f(x)=tanx−sinx đồng biến trên (0;π2)
⇒f(x)>f(0)=0 ⇒tanx−sinx>0⇔tanx>sinx với mọi x∈(0;π2).
LG câu b
b) 1+12x−x28<√1+x<1+12x với x>0
Phương pháp giải:
Xét các hàm số f(x)=1+12x−x28−√1+x và g(x)=√1+x−1−12x trên (0;+∞) và chứng minh chúng nghịch biến trên (0;+∞).
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Giải chi tiết:
Xét f(x)=1+12x−x28−√1+x trên (0;+∞) ta có: f′(x)=12−14x−12√x+1.
Vì x>0 nên f′(x)<12−14.0−12√0+1=0 nên hàm số y=f(x) nghịch biến trên (0;+∞)
Do đó f(x)<f(0)=0 ⇒1+12x−x28−√1+x<0 ⇔1+12x−x28<√1+x(1)
Xét g(x)=√1+x−1−12x trên (0;+∞) ta có: g′(x)=12√x+1−12
Vì x>0 nên g′(x)<12√0+1−12=0 hay y=g(x) nghịch biến trên (0;+∞)
Do đó g(x)<g(0)=0 hay √1+x−1−12x<0 ⇔√1+x<1+12x(2)
Từ (1) và (2) ta được 1+12x−x28<√1+x<1+12x với x>0. (đpcm)
