Cho hàm số \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số.
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Có \(y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) và không có cực trị.
TCĐ: \(x = 2\) và TCN \(y = 3\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Viết phương trình các đường thẳng đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\).
Phương pháp giải:
- Viết dạng phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) theo công thức \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
- Cho tiếp tuyến đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) tìm \({x_0}\), từ đó suy ra \({y_0}\) và viết phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\forall x \ne 2\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y-{y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right)\)
Trong đó \(y'({x_0}) = \dfrac{{ - 9}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}\).
Khi đó \(y = - \dfrac{9}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} \)
Tiếp tuyến đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{9{x_0}}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = 0\\
\Rightarrow 9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9{x_0} + 3\left( {x_0^2 - {x_0} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9{x_0} + 3x_0^2 - 3{x_0} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow 3x_0^2 + 6{x_0} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1 - \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\\
{x_0} = - 1 + \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
+) Tại \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - \dfrac{3}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x\)
+) Tại \({M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x\).
Chú ý:
Cách khác:
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) có dạng \(y = kx\).
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\) và \(y = kx\), ta giải hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} = kx\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} + \dfrac{{9x}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.\)
Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x = - 1 \pm \sqrt 3 \)
Thay vào phương trình thứ hai ta có: \({k_1} = - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} = - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )\)
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y = - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x\)
LG c
Tìm tất cả các điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ là các số nguyên.
Phương pháp giải:
- Viết lại hàm số về dạng \(y = 3 + \dfrac{9}{{x - 2}}\).
- Từ điều kiện \(x,y \in \mathbb{Z}\), tìm \(x\) suy ra \(y\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = \frac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} = \frac{{3x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{3x - 6 + 9}}{{x - 2}}\) \( = \frac{{3x - 6}}{{x - 2}} + \frac{9}{{x - 2}}= 3 + \frac{9}{{x - 2}}\)
Để \(M(x,y) \in (C)\) có tọa độ nguyên thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\\dfrac{9}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {x - 2} \right) \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\)
\( \Rightarrow x \in \left\{ {1;3; - 1;5; - 7;11} \right\}\).
Do đó, ta có \(6\) điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là: \(\left( {1; - 6} \right),\left( {3;12} \right),\left( { - 1;0} \right),\) \(\left( {5;6} \right),\left( { - 7;2} \right),\left( {11;4} \right)\).
