Đề bài
Cho hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\);
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, sử dụng mối quan hệ giữa hai đường thẳng song song: \(\Delta //\Delta ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = k\overrightarrow {u'} \\M \in \Delta ,M \notin \Delta '\end{array} \right.\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {M,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
a) \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\)
\(\Delta '\) đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = ( - 4; - 2;4)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a }\\{{M_0} \notin \Delta '}\end{array}} \right.\)
Vậy \(\Delta '\) song song với \(\Delta \)
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = ( - 3;4; - 5)\), \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\)
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} ,\overrightarrow a } \right] = ( - 3; - 16; - 11)\)
\(d(\Delta ,\Delta ') = M{'_0}H = \dfrac{{|\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow a |}}\)\( = \dfrac{{\sqrt {9 + 256 + 121} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {386} }}{3}\)
