Giải bài 2.31 trang 117 SBT giải tích 12

128 lượt xem

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {2^{|x|}}$ trên đoạn $\displaystyle \left[ { - 1;1} \right]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Viết hàm số $y = {2^{\left| x \right|}}$ dưới dạng khoảng.

- Xét từng hàm số có được trên các khoảng thích hợp.

- Tìm GTLN, GTNN và kết luận.

Lời giải chi tiết

Trên đoạn $\displaystyle \left[ { - 1;1} \right]$ , ta có $y = {2^{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x},khi\,\,\,x \in {\rm{[}}0;1]}\\{{2^{ - x}},khi\,\,\,x \in {\rm{[}} - 1;0]}\end{array}} \right.$

+) Trên đoạn $\displaystyle \left[ {0;1} \right]$ , hàm số $y=2^x$ có $2 > 1$ nên hàm đồng biến.

+) Trên đoạn $\displaystyle \left[ { - 1;0} \right]$ hàm số $y=2^{-x} = \frac{1}{{{2^x}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ có $0 < \frac{1}{2} < 1$ nên hàm nghịch biến.

+) Lại có $y( - 1) = {2^{ - ( - 1)}} = {2^1} = 2,$ $y(0) = {2^0} = 1,y(1) = {2^1} = 2$ .

BBT:

Vậy $\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(1) = y( - 1) = 2,$ $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(0) = 1$ .

SBT Toán lớp 12