Giải các bất phương trình logarit sau:
LG a
log13(x−1)≥−2
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu 0<a<1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)<g(x).
+ Nếu a>1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)>g(x).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x−1>0⇔x>1.
log13(x−1)≥−2⇔x−1≤(13)−2⇔x−1≤9⇔x≤10
Kết hợp điều kiện ta được 1<x≤10.
LG b
log3(x−3)+log3(x−5)<1
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu 0<a<1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)<g(x).
+ Nếu a>1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)>g(x).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: {x−3>0x−5>0⇔{x>3x>5⇔x>5.
Khi đó bpt⇔log3[(x−3)(x−5)]<log33 ⇔(x−3)(x−5)<3 ⇔x2−8x+15<3
⇔x2−8x+12<0 ⇔2<x<6.
Kết hợp điều kiện ta được 5<x<6.
LG c
log122x2+3x−7<0
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu 0<a<1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)<g(x).
+ Nếu a>1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)>g(x).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: 2x2+3x−7>0 ⇔x−7>0(vì 2x2+3>0,∀x∈R)
⇔x>7.
Khi đó bpt⇔2x2+3x−7>(12)0=1 ⇔2x2+3>x−7 (vì x−7>0,∀x>7)
⇔2x2−x+10>0
(luôn đúng vì a=2>0 và Δ=12−4.2.10=−79<0).
Vậy bất phương trình có nghiệm x>7.
LG d
log13log2x2>0
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu 0<a<1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)<g(x).
+ Nếu a>1 thì logaf(x)>logag(x) ⇔f(x)>g(x).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: {x2>0log2x2>0 ⇔{x≠0x2>20=1 ⇔{x≠0[x>1x<−1⇔[x>1x<−1
Khi đó bpt⇔log13log2x2>log131 ⇔log2x2<1⇔x2<2 ⇔−√2<x<√2
Kết hợp điều kiện ta được [1<x<√2−√2<x<−1.
LG e
15−logx+21+logx<1
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ t=logx, biến đổi bất phương trình về ẩn t.
- Giải bất phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: {x>0logx≠5logx≠−1
⇔{x>0x≠105x≠10−1
Đặt t=logx với điều kiện t≠5,t≠−1 ta có:
15−t+21+t−1<0⇔1+t+2(5−t)−(5−t)(1+t)(5−t)(1+t)<0⇔1+t+10−2t−5−4t+t2(5−t)(1+t)<0⇔t2−5t+6(5−t)(1+t)<0⇔(t−2)(t−3)(5−t)(1+t)<0
Xét dấu VT ta được: [t<−12<t<3t>5
TH1: t<−1 suy ra logx<−1⇔x<110.
TH2: 2<t<3 suy ra 2<logx<3⇔100<x<1000.
TH3: t>5 suy ra logx>5⇔x>105.
Kết hợp với điều kiện ta được 0<x<110 hoặc 100<x<1000 hoặc x>100000.
LG g
4log4x−33logx4≤1
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ t=log4x, biến đổi bất phương trình về ẩn t.
- Giải bất phương trình và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện x>0,x≠1.
Đặt t=log4x⇒x=4t, ta có:
4t−33log4t4≤1⇔4t−33tlog44≤1⇔4t−33t≤1
⇔4t2−t−33t≤0⇔(4t+11)(t−3)t≤0 ⇔[t≤−1140<t≤3
⇒[log4x≤−1140<log4x≤3 ⇔[0<x≤4−1141<x≤64
