Đề bài
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\sin xdx} \)
B. \(\displaystyle \int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)
C. \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^x}dx} = 0\)
D. \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left( {1 + x} \right)dx} = \frac{2}{{2009}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính đúng sai của các đáp án và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đáp án A: Đặt \(\displaystyle t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_1^0 {\sin t\left( { - dt} \right)} \) \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\sin tdt} = \int\limits_0^1 {\sin xdx} \) nên A đúng.
Đáp án B: Ta có: \(\displaystyle \int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx} = - \left. {2\cos \frac{x}{2}} \right|_0^\pi = 2\).
\(\displaystyle 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = - \left. {2\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\) nên \(\displaystyle \int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) hay B đúng.
Đáp án D: \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left( {1 + x} \right)dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^{2007}} + {x^{2008}}} \right)dx} \) \(\displaystyle = \left. {\left( {\frac{{{x^{2008}}}}{{2008}} + \frac{{{x^{2009}}}}{{2009}}} \right)} \right|_{ - 1}^1\) \(\displaystyle = \frac{1}{{2008}} + \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}} + \frac{1}{{2009}}\) \(\displaystyle = \frac{2}{{2009}}\) hay D đúng.
Đáp án C:
Sai vì \({\left( {1 + x} \right)^x} \ge 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên nhờ ý nghĩa hình học của tích phân ta có \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^x}dx} > 0\)
Chọn C.
