Giải bài 3.13 trang 104 SBT hình học 12

124 lượt xem

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$ và nhận xét nếu $\cos \alpha > 0$ thì $\alpha$ nhọn.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)$ và $\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)$

$\begin{array}{l} \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\\ \Rightarrow \widehat {BAC} < {90^0}\\ \overrightarrow {BA} = \left( {a; - b;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right)\\ \cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{{b^2}}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} > 0\\ \Rightarrow \widehat {ABC} < {90^0}\\ \overrightarrow {CA} = \left( {a;0; - c} \right),\overrightarrow {CB} = \left( {0; - b; - c} \right)\\ \Rightarrow \cos \widehat {BCA} = \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\\ = \dfrac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} > 0\\ \Rightarrow \widehat {BCA} < {90^0} \end{array}$

Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.

SBT Toán lớp 12