Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chọn hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm cần thiết.
- Viết phương trình mặt phẳng chứa \({C_1}N\) và song song \(MP\).
- Tính khoảng cách giữa \(MP\) với mặt phẳng vừa viết và kết luận.
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\cos \left( {MP,{C_1}N} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MP} } \right|.\left| {\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B1 là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B} = \overrightarrow k \).
Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).
Suy ra \(M\left( {0;0;\dfrac{1}{2}} \right),P\left( {1;\dfrac{1}{2};0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;1} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {MP} = \left( {1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right);\)\(\overrightarrow {{C_1}N} = \left( {\dfrac{1}{2};0;1} \right)\)
Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(C_1N\) và song song với MP.
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {{C_1}N} } \right] = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{5}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right)\) hay chọn \(\overrightarrow n = (2; - 5; - 1)\) là VTPT của \((\alpha)\)
Phương trình của \((\alpha )\) là \(2x – 5(y – 1) – z = 0 \) hay \(2x – 5y – z + 5 = 0\)
Ta có \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) \) \(= \dfrac{{| - \dfrac{1}{2} + 5|}}{{\sqrt {25 + 4 + 1} }} = \dfrac{9}{{2\sqrt {30} }}\)
Ta có: \(\cos ({MP,{C_1}N}) = \dfrac{{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |}}{{|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\). Vậy \((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\)
