Giải bài 2.43 trang 65 SBT hình học 12

134 lượt xem

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 2a$ và $\widehat B = {30^0}$ . Quay tam giác vuông này quanh trục $AB$ , ta được một hình nón đỉnh $B$ . Gọi ${S_1}$ là diện tích toàn phân của hình nón đó và ${S_2}$ là diện tích mặt cầu có đường kính $AB$ . Khi đó, tỉ số $\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ là:

A. $1$ B. $\dfrac{1}{2}$

C. $\dfrac{2}{3}$ D. $\dfrac{3}{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính diện tích toàn phần hình nón ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}$ .

- Tính diện tích mặt cầu theo công thức $S = 4\pi {r^2}$ và suy ra tỉ số.

Lời giải chi tiết

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC\sin {30^0} = a$ ; $AB = BC\cos {30^0} = a\sqrt 3$ .

Diện tích toàn phần hình nón là:

${S_1} = {S_{xq}} + {S_d}$ $= \pi rl + \pi {r^2}$ $=\pi AC.BC +\pi AC^2$ $= \pi a.2a + \pi {a^2}$ $= 2\pi {a^2} + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}$

Diện tích mặt cầu đường kính $AB$ là:

${S_2} = 4\pi .{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2}= \pi A{B^2}$ $= \pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi {a^2}$ .

Vậy $\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1$ .

Chọn A.

SBT Toán lớp 12