Giải các phương trình logarit :
a) \(\displaystyle {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\)
b) \(\displaystyle {x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6\)
c) \(\displaystyle {x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}\)
d) \(\displaystyle 1 + 2{\log _{x + 2}}5 = {\log _5}(x + 2)\)
LG a
\(\displaystyle {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\)
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _2}({2^x} + 1)\).
- Biến đổi phương trình về bậc hai ẩn \(\displaystyle t\).
- Giải phương trình và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\(PT\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) . {\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 2} \right) = 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}\left[ {2({2^x} + 1)} \right] = 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right).\left[ {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}\left( {{2^x} + 1} \right)} \right] = 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).\left[ {1 + {{\log }_2}({2^x} + 1)} \right] = 2\)
Đặt \(\displaystyle t = {\log _2}({2^x} + 1)\), ta có phương trình \(\displaystyle t\left( {1 + t} \right) = 2\; \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}({2^x} + 1) = 1\\{\log _2}({2^x} + 1) = - 2\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} + 1 = 2\\{2^x} + 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = - \frac{3}{4}(l)\end{array} \right.\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x = 0\)
LG b
\(\displaystyle {x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6\)
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ.
- Thu gọn phương trình và đặt \(\displaystyle t = {x^{\log 9}}\).
- Giải phương trình ẩn \(\displaystyle t\) và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \(\displaystyle x > 0\).
Ta có: \(\displaystyle \log ({x^{\log 9}}) = \log 9.\log x\) và \(\displaystyle \log ({9^{\log x}}) = \log x.\log 9\)
Nên \(\displaystyle \log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})\) suy ra \(\displaystyle {x^{\log 9}} = {9^{\log x}}\)
Đặt \(\displaystyle t = {x^{\log 9}}\), ta được phương trình \(\displaystyle 2t = 6 \Leftrightarrow t = 3\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^{\log 9}} = 3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \log ({x^{\log 9}}) = \log 3\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \log 9.\log x = \log 3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \log x = \frac{{\log 3}}{{\log 9}} = \frac{{\log 3}}{{\log {3^2}}} = \frac{{\log 3}}{{2\log 3}}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \log x = \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x = \sqrt {10} \) (thỏa mãn điều kiện \(\displaystyle x > 0\))
LG c
\(\displaystyle {x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}\)
Phương pháp giải:
Logarit cơ số \(\displaystyle 10\) cả hai vế, đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = \log x\) và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \(\displaystyle x > 0\).
Lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}
\log \left[ {{x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}}} \right] = \log \left( {100\sqrt[3]{{10}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x} \right)\log x = \log \left( {{{10}^2}{{.10}^{\frac{1}{3}}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x} \right)\log x = \log {10^{\frac{7}{3}}}
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow (3{\log ^3}x - \frac{2}{3}\log x).\log x = \frac{7}{3}\)
\( \Leftrightarrow 3{\log ^4}x - \frac{2}{3}{\log ^2}x - \frac{7}{3} = 0\)
Đặt \(\displaystyle t = \log x\), ta được phương trình \(\displaystyle 3{t^4} - \frac{2}{3}{t^2} - \frac{7}{3} = 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 9{t^4} - 2{t^2} - 7 = 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} = 1\\{t^2} = - \frac{7}{9}(l)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = 1\\\log x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\).
LG d
\(\displaystyle 1 + 2{\log _{x + 2}}5 = {\log _5}(x + 2)\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _5}(x + 2)\), giải phương trình ẩn \(\displaystyle t\) và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x + 2 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
Đặt \(\displaystyle t = {\log _5}(x + 2)\Leftrightarrow x + 2 = {5^t}\) ta có:
\(\begin{array}{l}
1 + 2{\log _{{5^t}}}5 = t\\
\Leftrightarrow 1 + \frac{2}{t}{\log _5}5 = t
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{t} = t\)\(\displaystyle \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0,t \ne 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _5}(x + 2) = - 1\\{\log _5}(x + 2) = 2\end{array} \right.\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = \frac{1}{5}\\x + 2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{5}\\x = 23\end{array}(TM) \right.\).
