Giải các phương trình logarit :
a) log2(2x+1).log2(2x+1+2)=2
b) xlog9+9logx=6
c) x3log3x−23logx=1003√10
d) 1+2logx+25=log5(x+2)
LG a
log2(2x+1).log2(2x+1+2)=2
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ t=log2(2x+1).
- Biến đổi phương trình về bậc hai ẩn t.
- Giải phương trình và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
PT⇔log2(2x+1).log2(2.2x+2)=2
⇔log2(2x+1).log2[2(2x+1)]=2
⇔log2(2x+1).[log22+log2(2x+1)]=2
⇔log2(2x+1).[1+log2(2x+1)]=2
Đặt t=log2(2x+1), ta có phương trình t(1+t)=2⇔t2+t−2=0⇔[t=1t=−2
⇒[log2(2x+1)=1log2(2x+1)=−2 ⇔[2x+1=22x+1=14⇔[2x=12x=−34(l)⇔x=0
LG b
xlog9+9logx=6
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ.
- Thu gọn phương trình và đặt t=xlog9.
- Giải phương trình ẩn t và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết:
ĐK: x>0.
Ta có: log(xlog9)=log9.logx và log(9logx)=logx.log9
Nên log(xlog9)=log(9logx) suy ra xlog9=9logx
Đặt t=xlog9, ta được phương trình 2t=6⇔t=3 ⇔xlog9=3
⇔log(xlog9)=log3⇔log9.logx=log3
⇔logx=log3log9=log3log32=log32log3⇔logx=12
⇔x=√10 (thỏa mãn điều kiện x>0)
LG c
x3log3x−23logx=1003√10
Phương pháp giải:
Logarit cơ số 10 cả hai vế, đặt ẩn phụ t=logx và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐK: x>0.
Lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:
log[x3log3x−23logx]=log(1003√10)⇔(3log3x−23logx)logx=log(102.1013)⇔(3log3x−23logx)logx=log1073
⇔(3log3x−23logx).logx=73
⇔3log4x−23log2x−73=0
Đặt t=logx, ta được phương trình 3t4−23t2−73=0
⇔9t4−2t2−7=0⇔[t2=1t2=−79(l)⇔[t=1t=−1 ⇒[logx=1logx=−1⇔[x=10x=110.
LG d
1+2logx+25=log5(x+2)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ t=log5(x+2), giải phương trình ẩn t và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
ĐK: {x+2>0x+2≠1⇔{x>−2x≠−1
Đặt t=log5(x+2)⇔x+2=5t ta có:
1+2log5t5=t⇔1+2tlog55=t
⇔1+2t=t⇔t2−t−2=0,t≠0
⇔[t=−1t=2⇔[log5(x+2)=−1log5(x+2)=2⇔[x+2=15x+2=25⇔[x=−95x=23(TM).
