Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
LG câu a
a) y=3−2xx+7
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính y′ theo công thức (ax+bcx+d)′=ad−bc(cx+d)2
- Xét dấu y′ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: R∖{−7}
y′=−2.7−3.1(x+7)2=−17(x+7)2<0, ∀x≠−7
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−7) và (−7;+∞).
LG câu b
b) y=1(x−5)2
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính y′ theo công thức (1u)′=−u′u2
- Xét dấu y′ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{5}
Ta có: y′=−[(x−5)2]′(x−5)4 =−2(x−5)(x−5)4 =−2(x−5)3
y′>0⇔−2(x−5)3>0 ⇔(x−5)3<0⇔x<5 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;5).
y′<0⇔−2(x−5)3<0 ⇔(x−5)3>0⇔x>5 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (5;+∞).
LG câu c
c) y=2xx2−9
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính y′ theo công thức (uv)′=u′v−uv′v2
- Xét dấu y′ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{±3}
y′=(2x)′.(x2−9)−2x.(x2−9)′(x2−9)2 =2(x2−9)−2x.2x(x2−9)2=−2x2−18(x2−9)2 =−2(x2+9)(x2−9)2<0,∀x∈D
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−3),(−3;3),(3;+∞).
LG câu d
d) y=x4+48x
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính y′ theo công thức (uv)′=u′v−uv′v2.
- Xét dấu y′ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{0}.
Ta có: y′=(x4+48)′.x−(x)′.(x4+48)x2 =4x3.x−x4−48x2=3x4−48x2 =3(x4−16)x2=3(x2−4)(x2+4)x2
y′=0⇔x2−4=0⇔x=±2.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−2) và (2;+∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2;0) và (0;2).
LG câu e
e) y=x2−2x+3x+1
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính y′ theo công thức (uv)′=u′v−uv′v2.
- Xét dấu y′ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{−1}
Ta có: y′=(x2−2x+3)′(x+1)−(x+1)′(x2−2x+3)(x+1)2 =(2x−2)(x+1)−(x2−2x+3)(x+1)2 =x2+2x−5(x+1)2
Khi đó y′=0⇔x2+2x−5=0 ⇔x=−1±√6
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;−1−√6),(−1+√6;+∞)
và nghịch biến trên các khoảng (−1−√6;−1),(−1;−1+√6)
LG câu g
g) y=x2−5x+3x−2
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính y′ theo công thức (uv)′=u′v−uv′v2.
- Xét dấu y′ và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{2}
Ta có: y′=(x2−5x+3)′(x−2)−(x−2)′(x2−5x+3)(x−2)2 =(2x−5)(x−2)−(x2−5x+3)(x−2)2 =x2−4x+7(x−2)2 =(x−2)2+3(x−2)2>0,∀x∈D.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;2) và (2;+∞).
