Đề bài
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số \(a\left( {a > 0} \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Lập hàm số tính diện tích tam giác theo biến là một cạnh góc vuông.
- Xét hàm tìm GTLN và kết luận.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABC vuông tại A như hình vẽ.
Gọi số đo cạnh góc vuông \(AB\) là \(x,0 < x < \dfrac{a}{2}\)
(vì \(AB < BC\) \( \Rightarrow 2AB < AB + BC = a\) \( \Rightarrow AB < \frac{a}{2}\))
Khi đó, cạnh huyền \(BC = a-x\), cạnh góc vuông còn lại là: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} \) \( = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {x^2}} \)
Hay \(AC = \sqrt {{a^2} - 2ax} \)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S(x) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{a^2} - 2ax} \)
\(S'(x) = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} - 2ax} - \dfrac{1}{2}\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}\)\( = \dfrac{{a(a - 3x)}}{{2\sqrt {{a^2} - 2ax} }}\)
\(S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}\)
Bảng biến thiên:
Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB = \dfrac{a}{3};BC = \dfrac{{2a}}{3}\).
