Đề bài
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng (AB′D′),(BC′D) và suy ra điều kiện song song.
b) Sử dụng tính chất d((P),(Q))=d(M,(Q)) và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng d(M,(Q))=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
Lời giải chi tiết
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A(0; 0; 0) , B(1;0; 0) , D(0; 1; 0)
B’(1; 0 ; 1) , D’(0; 1; 1) , C’ (1; 1; 1)
a) Ta có:
→AB′=(1;0;1),→AD′=(0;1;1)⇒[→AB′,→AD′]=(−1;−1;1)
Mặt phẳng (AB′D′) đi qua A(0;0;0) và nhận [→AB′,→AD′]=(−1;−1;1) làm VTPT nên
(AB′D′):−(x−0)−(y−0)+(z−0)=0 hay x+y−z=0
→BC′=(0;1;1),→DC′=(1;0;1)⇒[→BC′,→DC′]=(1;1;−1)
Mặt phẳng (BC′D) đi qua B(1;0;0) và nhận [→BC′,→DC′]=(1;1;−1) làm VTPT nên
(BC′D):(x−1)+(y−0)−(z−0)=0 hay x+y−z−1=0
Ta có: 11=11=−1−1≠0−1.
Vậy (AB’D’) // (BC’D)
b) d((AB′D′),(BC′D))=d(A,(BC′D))=|0+0−0−1|√12+12+12 =1√3
