Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
LG a
y = |x2 – 1| và y = 5 + |x|
Lời giải chi tiết:
Hai hàm số y = |x2 – 1| và y = 5 + |x| đều là hàm số chẵn. Miền cần tính diện tích được thể hiện ở hình 97. Do tính đối xứng qua trục tung, ta có:
S=23∫0(5+|x|−|x2−1|)dx
=2[1∫0(5+x−1+x2)dx+3∫1(5+x−x2+1)dx]
=2[(13x3+12x2+4x)|10+(−13x3+12x2+6x)|31]
=2413 (đơn vị diện tích)
LG b
2y = x2 + x – 6 và 2y = -x2 + 3x + 6
Lời giải chi tiết:
Miền cần tính diện tích được thể hiện bởi Hình 98 (học sinh tự làm)
Như vậy, với mọi x∈(−2;3) đồ thị của hàm số y=−12x2+32x+3 nằm phía trên đồ thị của hàm số y=12x2+12x−3.
Vậy ta có:
S=3∫−2[(−12x2+32x+3)−(12x2+12x−3)]dx
=3∫−2(−x2+x+6)dx=2056 (đơn vị diện tích)
LG c
y=1x+1,x=1 và tiếp tuyến với đường y=1x+1 tại điểm (2;32)
Lời giải chi tiết:
Miền cần tính diện tích được thể hiện trên hình:
S=2∫1[1x+1−(−14x+2)]dx
=2∫1(1x+14x−1)dx=ln2−58(đơn vị diện tích)
(vì tiếp tuyến với đồ thị của y=1x+1 tại điểm (2;32) có phương trình là y=f′(2)(x−2)+32=−14x+2)
