Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi
LG câu a
y=x23,x=0 và tiếp tuyến với đường y=x23 tại điểm có hoành độ x=1, quanh trục Oy;
Phương pháp giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x23 tại điểm có hoành độ bằng 1.
- Rút x theo y và dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.
Chú ý: công thức V=πb∫af2(x)dx.
Giải chi tiết:
Ta có: y′=23x−13.
Với x=1 thì y=1 và y′(1)=23. Tiếp tuyến y=23(x−1)+1=23x+13
Có y=x23⇒x=y32 và y=23x+13⇒x=32y−12
Khi đó y32=32y−12⇒y=1. Ta có: 32y−12=0⇔y=13
V=π1∫0(y32)2dy−π1∫13(32y−12)2dy=π1∫0y3dy−π1∫13(32y−12)2dy
=π.y44|10−π1∫13(94y2−32y+14)dy =π4−π.(34y3−34y3+14y)|113 =π4−2π9=π36
LG b
y=1x−1,y=0,y=2x, quanh trục Ox
Phương pháp giải:
Dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.
Giải chi tiết:
Ta có: 1x−1=2x⇒x=12; 1x−1=0⇔x=1; 2x=0⇔x=0.
Do đó V=π12∫0(2x)2dx+π1∫12(1x−1)2dx =π.12∫04x2dx+π.1∫12(1x2−2x+1)dx
=π.4x33|120+π(−1x−2lnx+x)|112 =π6+π(0+2+2ln12−12) =π6+3π2−2πln2
=5π3−2πln2
LG c
y=|2x−x2|,y=0 và x=3, quanh:
* Trục Ox
* Trục Oy
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức V=πb∫af2(x)dx.
Giải chi tiết:
+) Quay quanh Ox.
Ta có: |2x−x2|=0⇔[x=0x=2.
Khi đó V=π3∫0(2x−x2)2dx =π3∫0(4x2−4x3+x4)dx =π(4x33−x4+x55)|30
=π(4.273−34+355)=18π5.
+) Quay quanh Oy.
Ta có: y=|2x−x2| ⇒[y=2x−x2y=−2x+x2 ⇔[x2−2x+y=0x2−2x−y=0 ⇔[x=1±√1−yx=1±√1+y
Dựng hình:
Ta có: Vy=π1∫0[(1+√1−y)2−(1−√1−y)2]dy +π3∫0[32−(1+√1+y)2]dy
=π1∫0(1+2√1−y+1−y−1+2√1−y−1+y)dy+π3∫0(9−1−2√1+y−1−y)dy
=π1∫04√1−ydy +π3∫0(7−y−2√1+y)dy
=4π1∫0√1−ydy +π[(7y−y22)|30−23∫0√1+ydy] =4πI+π(332−2J)
Tính I=1∫0√1−ydy ta có:
Đặt √1−y=t⇒1−y=t2 ⇒−dy=2tdt⇒dy=−2tdt
⇒I=0∫1t.(−2tdt) =1∫02t2dt=23t3|10=23
Tính J=3∫0√1+ydy ta có:
Đặt t=√1+y⇒t2=1+y ⇒2tdt=dy ⇒J=2∫1t.2tdt=2t33|21=143
Vậy V=4π.23+π(332−2.143)=59π6.
