Đề bài
Tìm \(\displaystyle x\) biết \(\displaystyle {2^x} + {3^x} = {5^x}\).
A. \(\displaystyle x = 0\) B. \(\displaystyle x = 1\)
C. \(\displaystyle x = - 1\) D. \(\displaystyle x = 2\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia cả hai vế cho \(\displaystyle {5^x} > 0\) và giải phương trình bằng phương pháp hàm số.
Lời giải chi tiết
Chia cả hai vế cho \(\displaystyle {5^x} > 0\) ta được \(\displaystyle {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = 1\)
Xét hàm \(\displaystyle f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\) có \(\displaystyle f'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\ln \frac{2}{5} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} < 0\) với mọi \(\displaystyle x\) nên hàm số nghịch biến trên \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Mà \(\displaystyle f\left( 1 \right) = 1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(\displaystyle x = 1\).
Chọn B.
