Đề bài
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:
a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\overrightarrow n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến;
b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow u = (0;1;1),\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\);
c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)
c) Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right]\)
Lời giải chi tiết
a) Phương trình \((\alpha )\) có dạng: (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0
b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\).
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = (2; - 1;1)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = (2; - 1;1)\) là vecto pháp tuyến.
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 1) – y +z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0
c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {MN} = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow {MP} = (4;1;0)\)
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = ( - 1;4; - 5)\)
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0
hay x – 4y + 5z – 2 = 0.
