Giải bài 1.14 trang 18 SBT hình học 12

144 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,BC = 2a,AA' = a$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AM = 3MD$ .

LG a

Tính thể tích khối chóp $M.AB'C$

Phương pháp giải:

- Đổi vị trí đỉnh và đáy của khối chóp, đưa về khối chóp có chiều cao và đáy dễ tính toán.

- Tính thể tích theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$ .

Giải chi tiết:

Ta có: ${V_{M.AB'C}} = {V_{B'.ACM}}$ .

${S_{AMC}} = \dfrac{3}{4}{S_{ADC}} = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.2{a^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}$

Do đó ${V_{M.AB'C}} = {V_{B'.ACM}} = \dfrac{1}{3}B'B.{S_{AMC}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{4}.a = \dfrac{{{a^3}}}{4}$

LG b

Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {AB'C} \right)$ .

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác $AB'C$ .

- Dựa vào thể tích và diện tích của khối chóp $M.AB'C$ suy ra khoảng cách theo công thức $h = \dfrac{{3V}}{S}$ .

Giải chi tiết:

Gọi $h$ là khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {AB'C} \right)$

Khi đó ${V_{M.AB'C}} = \dfrac{1}{3}{S_{AB'C}}.h = \dfrac{{{a^3}}}{4}$

Vì $A{C^2} = {\rm{ }}B'{C^2} = 5{a^2}$ nên tam giác $ACB'$ cân tại $C$ . Do đó, đường trung tuyến $CI$ của tam giác $ACB'$ cũng là đường cao.

Ta có: $C{I^2} = {\rm{ }}C{A^2}-{\rm{ }}A{I^2}$ $= {\rm{ }}5{a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $= 5{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{9{a^2}}}{2}$

Do đó $CI = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}$ $\Rightarrow {S_{AB'C}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 = \dfrac{{3{a^2}}}{2}$

$\Rightarrow h = \dfrac{{3V}}{S} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}:\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{a}{2}$ .

SBT Toán lớp 12