Đề bài
Cho mặt phẳng (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là một điểm nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A. Một điểm M chạy trên mặt phẳng (P) sao cho góc \(\widehat {ABM} = \widehat {BMH}\) . Chứng minh rằng điểm M luôn luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi I là hình chiếu của M lên AB. Chứng minh MI=BH không đổi và suy ra khối trụ cần tìm.
Lời giải chi tiết
Giả sử ta có điểm M thuộc mặt phẳng (P) thỏa mãn các điều kiện của giả thiết đã cho.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên AB.
Xét tam giác vuông BIM và MHB có:
\(BM\) chung.
\(\widehat B = \widehat M\) (giả thiết)
Suy ra \(\Delta BIM = \Delta MHB\left( {c - h - g - n} \right)\)
Do đó MI = BH không đổi hay M luôn cách AB một khoảng không đổi.
Vậy điểm M luôn luôn nằm trên mặt trụ trục AB và có bán kính bằng BH.
