Đề bài
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi dạng phương trình mặt cầu là x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0.
- Thay tọa độ các điểm A,B,C,D vào phương trình, giải hệ tìm a,b,c,d.
- Từ đó suy ra phương trình mặt cầu, tâm và bán kính.
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0.
Vì A∈(S) nên ta có: 1 – 2a + d =0 (1)
B∈(S) nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)
C∈(S) nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)
D∈(S) nên ta có: d = 0 (4)
Giải hệ 4 phương trình trên ta có: d=0,a=12,b=−1,c=2.
Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: x2+y2+z2−x+2y−4z=0
Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:
(x−12)2+(y+1)2+(z−2)2−14−1−4=0
⇔(x−12)2+(y+1)2+(z−2)2=214
Vậy mặt cầu (S) có tâm I(12;−1;2) và có bán kính r=√212
