Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
LG a
\({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)
Phương pháp giải:
- Phá dấu giá trị tuyệt đối đưa về hai phương trình mới.
- Biến đổi các phương trình về dạng \(f\left( x \right) = g\left( k \right)\).
- Vẽ đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ.
- Từ đó biện luận nghiệm của phương trình, sử dụng sự tương giao giữa đường thẳng \(y = g\left( k \right)\) với đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - k} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\left( {x - k} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\\
2\left( {x - k} \right) = - {\left( {x - 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 2k = {x^2} - 2x + 1\\
2x - 2k = - {x^2} + 2x - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 1 = 2k\\{x^2} + 1 = 2k\end{array} \right.\)
Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y = - {x^2} + 4x - 1\) và \(y = {x^2} + 1\) như sau:
Từ đồ thị ta suy ra:
+) Nếu \(2k > 3 \Leftrightarrow k > \dfrac{3}{2}\): phương trình có hai nghiệm;
+) Nếu \(2k = 3 \Leftrightarrow k = \dfrac{3}{2}\): phương trình có ba nghiệm;
+) Nếu \(2 < 2k < 3 \Leftrightarrow 1 < k < \dfrac{3}{2}\): phương trình có bốn nghiệm;
+) Nếu \(2k = 2 \Leftrightarrow k = 1\): phương trình có ba nghiệm;
+) Nếu \(1 < 2k < 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < k < 1\): phương trình có bốn nghiệm ;
+) Nếu \(2k = 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2}\): phương trình có ba nghiệm ;
+) Nếu \(2k < 1 \Leftrightarrow k < \dfrac{1}{2}\): phương trình có hai nghiệm.
Kết luận:
+) Phương trình có \(4\) nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < k < \dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{2} < k < 1\end{array} \right.\).
+) Phương trình có \(3\) nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = \dfrac{1}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
+) Phương trình có \(2\) nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > \dfrac{3}{2}\\k < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
LG b
\({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)
Phương pháp giải:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 - x} \right)\).
- Biện luận số nghiệm dựa vào tương giao đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 - x} \right)\) ta có:
\(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 - x} \right)\) \( = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {2 - x} \right) \) \(= 2{x^2} + 4x + 2 - {x^3} - 2{x^2} - x \) \( = - {x^3} + 3x + 2\)
\(y' = - 3{x^2} + 3;\)\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra:
* \(k > 4\;\) hoặc \(k < 0\): phương trình có một nghiệm;
* \(k = 4\) hoặc \(k = 0\): phương trình có hai nghiệm;
* \(0 < k < 4\): phương trình có ba nghiệm.
