Cho hàm số: \(y = - {x^4} - {x^2} + 6\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: \(y = \dfrac{1}{6}x - 1\)
(Đề thi tốt nghiếp THPT năm 2010)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho.
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
- Tìm TXĐ.
- Lập bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Chiều biến thiên:
Ta có: \(y' = - 4{x^3} - 2x = - 2x\left( {2{x^2} + 1} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \({y_{CD}} = 6\) và không có cực tiểu.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị đi qua các điểm \(\left( {1;4} \right)\) và \(\left( { - 1;4} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( { \pm \sqrt 2 ;0} \right)\).
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: \(y = \dfrac{1}{6}x - 1\)
Phương pháp giải:
- Tìm hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến dựa vào lý thuyết: Hai đường thẳng vuông góc vơi nhau thì tích hệ số góc bằng \( - 1\).
- Giải phương trình \(y' = k\) tìm hoành độ tiếp điểm.
- Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = - 4{x^3} - 2x\)
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = \dfrac{1}{6}x - 1\) nên tiếp tuyến có hệ số góc là \( - 6\).
Ta có: \( - 4{x^3} - 2x = - 6\)\( \Leftrightarrow 2{x^3} + x - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2({x^3} - 1) + (x - 1) = 0\)\( \Leftrightarrow (x - 1)(2{x^2} + 2x + 3) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\) (vì \(2{x^2} + 2x + 3 > 0,\forall x\))
Suy ra \(y\left( 1 \right) = 4\).
Phương trình tiếp tuyến là: \(y = - 6\left( {x - 1} \right) + 4\) hay \(y = - 6x + 10\).
