Đề bài
Tính sin của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lý thuyết:
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Lời giải chi tiết
Xét tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Khi đó DM⊥AB,CM⊥AB (trung tuyến trong tam giác đều cùng là đường cao)
Ta có:
{(DAB)∩(CAB)=ABDM⊥ABCM⊥AB
⇒ góc giữa hai mặt phẳng (CAB) và (DAB) bằng góc giữa DM và CM và là góc ^CMD.
Xét tam giác DAM vuông tại M có DA=a,^DAM=600 ⇒DM=DAsin600=a√32
Ta có: ΔDAB=ΔCAB⇒DM=CM=a√32
Tam giác DMC cân tại M có N là trung điểm CD nên MN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Do đó MN⊥CD
Xét tam giác CMN vuông tại N có CM=a√32,CN=a2
⇒sin^CMN=CNCM=a2a√32=1√3
⇒cos^CMN=√1−(1√3)2=√2√3
Từ đó suy ra: sin^CMD=2sin^CMNcos^CMN=2.1√3.√2√3=2√23.
