Đề bài
Tính \(\sin \) của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lý thuyết:
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Lời giải chi tiết
Xét tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
Khi đó \(DM \bot AB,CM \bot AB\) (trung tuyến trong tam giác đều cùng là đường cao)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {DAB} \right) \cap \left( {CAB} \right) = AB\\
DM \bot AB\\
CM \bot AB
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {CAB} \right)\) và \(\left( {DAB} \right)\) bằng góc giữa DM và CM và là góc \(\widehat {CMD}\).
Xét tam giác DAM vuông tại M có \(DA = a,\widehat {DAM} = {60^0}\) \( \Rightarrow DM = DA\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có: \(\Delta DAB = \Delta CAB \Rightarrow DM = CM= \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \)
Tam giác DMC cân tại M có N là trung điểm CD nên MN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Do đó \(MN \bot CD\)
Xét tam giác CMN vuông tại N có \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},CN = \dfrac{a}{2}\)
\(\Rightarrow \sin \widehat {CMN} = \frac{{CN}}{{CM}}= \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {CMN} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Từ đó suy ra: \(\sin \widehat {CMD} = 2\sin \widehat {CMN}\cos \widehat {CMN}\)\( = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
