Đề bài
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:
a) Δ:{x=1+ty=−1−tz=1 và Δ′:{x=2−3t′y=2+3t′z=3t′
b) Δ:{x=ty=4−tz=−1+2t và Δ′:{x=t′y=2−3t′z=−3t′
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, sử dụng công thức:
d(Δ,Δ′)=d(Δ,(α)) =|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
ở đó Δ′⊂(α),Δ//(α) và M∈Δ.
Lời giải chi tiết
a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa Δ và song song với Δ′.
Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: →u=(1;−1;0) và →u′=(−1;1;1).
Suy ra →nα=[→u′,→u]=(−1;−1;0)
(α) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc Δ và có vecto pháp tuyến: →nα′=(1;1;0)
Vậy phưong trình của mặt phẳng (α) có dạng x–1+y+1=0 hay x+y=0
Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng Δ′
d(Δ,Δ′)=d(M2,(α))=|2+2|√1+1=2√2
b) Hai đường thẳng Δ và Δ′ có phương trình là:
Δ:{x=ty=4−tz=−1+2t và Δ′:{x=t′y=2−3t′z=−3t′
Phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ và song song với Δ′ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0
Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên Δ′.
Ta có d(Δ,Δ′)=d(M′,(α))=|5.(2)−22|√81+25+4=12√110.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 12√110.
