Cho hàm số: y=x3−(m+4)x2−4x+m (1)
LG a
Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
Phương pháp giải:
- Biến đổi hàm số về phương trình ẩn m với tham số là x,y.
- Cho các hệ số của m và hệ số tự do bằng 0 rồi tìm x,y và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: y=x3−(m+4)x2−4x+m
⇔y=x3−mx2−4x2−4x+m⇔y−x3+mx2+4x2+4x−m=0⇔(mx2−m)+y−x3+4x2+4x=0
⇔(x2−1)m+y−x3+4x2+4x=0
Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x;y) với mọi m khi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình: {x2−1=0y−x3+4x2+4x=0⇔{x=±1y=x3−4x2−4x ⇔[x=1,y=−7x=−1;y=−1
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1;−7) và (−1;−1).
LG b
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
Phương pháp giải:
Hàm số đa thức bậc ba luôn có cực trị nếu y′=0 luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀m.
Lời giải chi tiết:
Ta có: y′=3x2−2(m+4)x−4; Δ′=(m+4)2+12>0,∀m
Do dó phương trình y′=0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó).
Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.
LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m=0
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
+ Thay m=0 vào hàm số đã cho.
+ Tính y′.
+ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Với m=0 ta được hàm số y=x3−4x2−4x.
TXĐ: D=R
Chiều biến thiên:
lim
Có y' = 3{x^2} - 8x - 4, y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{4 \pm 2\sqrt 7 }}{3}
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ;\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}} \right) và \left( {\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}; + \infty } \right)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( {\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3};\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)
Hàm số đạt cực đại tại x = \frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}, đạt cực tiểu tại x = \frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG d
Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm đặc biệt.
- Từ đó suy ra điều kiện của k.
Lời giải chi tiết:
Với m = 0 ta có:y = {x^3}-4{x^2}-4x.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^3}-4{x^2}-4x = kx (2)
Đường thẳng y = kx cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
Có
\begin{array}{l} \left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - 4x - kx = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - \left( {k + 4} \right)x = 0 \end{array} \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right) = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.
\left( 2 \right) có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \left( 3 \right) có hai nghiệm phân biệt khác 0
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 4 + k + 4 > 0\\ {0^2} - 4.0 - \left( {k + 4} \right) \ne 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + 8 > 0\\-k -4\ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k > - 8\\k \ne - 4\end{array} \right..
Vậy với k > - 8 và k \ne - 4 thì \left( C \right) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.
