Giải bài 3.20 trang 172 SBT giải tích 12

138 lượt xem

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right)$ cho bởi $f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}$ là hàm số chẵn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đặt $t = - s$ suy ra tích phân mới theo biến $s$ , chứng minh $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ .

Chú ý công thức: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $t = - {\rm{ }}s$ ta có $dt = - ds$ , đổi cận $t = 0 \Rightarrow s = 0$ , $t = x \Rightarrow s = - x$ .

Suy ra $f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt}$ $= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{{ - s}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}\left( { - ds} \right)}$ $= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{s}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}ds} = f\left( { - x} \right)$

Do đó $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$ , suy ra hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

SBT Toán lớp 12