Giải bài 1.58 trang 24 SBT hình học 12

147 lượt xem

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AC$ . Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $B',C',D'$ . Tỉ số giữa thể tích hình chóp $S.AB'C'D'$ và thể tích hình chóp $S.ABCD$ là:

A. $\dfrac{1}{6}$ B. $\dfrac{1}{4}$

C. $\dfrac{1}{3}$ D. $\dfrac{1}{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng mặt phẳng $\left( {AB'C'D'} \right)$ và tính tỉ số các đoạn thẳng $\dfrac{{SB'}}{{SB}},\dfrac{{SC'}}{{SC}},\dfrac{{SD'}}{{SD}}$ .

- Tính tỉ số thể tích hai hình chóp bằng cách chia thành các hình chóp tam giác.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\Delta SAC$ vuông cân và $SC \bot AC'$ nên $C'$ là trung điểm của $SC$ .

Gọi $I = AC \cap BD$ và $J = SI \cap AC'$ .

Khi đó $J$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ .

Dễ thấy $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$ .

Mà $SC \bot \left( {AB'C'D'} \right)$ $\Rightarrow BD// (AB'C'D')$ .

Do đó $BD//B'D'$ $\Rightarrow \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{SJ}}{{SI}} = \dfrac{2}{3}$ .

$\Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$ $= 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$ $= 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}}$ $= \dfrac{{{V_{S.AB'C'}} + {V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$

Vậy $\dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}$ .

Chọn C.

SBT Toán lớp 12