Cho hàm số: y=x3−3x2
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
TXĐ: D=R.
Sự biến thiên: y′=3x2−6x=3x(x−2); y′=0⇔[x=0x=2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0),(2;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
Hàm số đạt cực đại tại x=0;yCD=y(0)=0.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2;yCT=y(2)=−4.
Giới hạn: lim
Điểm uốn: y'' = 6x - 6,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) = - 2 suy ra đồ thị có điểm uốn I\left( {1; - 2} \right).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình {x^3}-3{x^2}-m = 0\; có ba nghiệm phân biệt.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)
Phương pháp giải:
- Biến dổi phương trình về {x^3} - 3{x^2} = m.
- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số vừa vẽ với đường thẳng y = m và kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: {x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m (*)
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt \left( C \right) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra - 4 < m < 0.
