Đề bài
Cho hai đường thẳng: d:x−1−1=y−22=z3 và d′:{x=1+t′y=3−2t′z=1
Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tham số hóa tọa độ hai điểm M,M′ lần lượt thuộc hai đường thẳng d,d′.
- Sử dụng điều kiện →MM′ là đường vuông góc chung của d,d′ thì {→MM′.→ud=0→MM′.→ud′=0.
- Tìm tọa độ của M,M′ và viết phương trình đường thẳng MM′.
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng d:{x=1−ty=2+2tz=3t
Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d′ lần lượt là →a=(−1;2;3),→a′=(1;−2;0).
Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có →MM′=(t′+t;1−2t′−2t;1−3t).
MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.
⇔{→MM′.→a=0→MM′.→a′=0⇔{−t′−t+2−4t′−4t+3−9t=0t′+t−2+4t′+4t=0
⇔{5t′+14t=55t′+5t=2⇔{t=13t′=115
Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là M(23;83;1),M′(1615;4315;1)
Do đó →MM′=(615;315;0)
Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương →u=(2;1;0)
Vậy phương trình tham số của Δ là: {x=23+2ty=83+tz=1
