Cho hàm số y=(a−1)x33+ax2+(3a−2)x.
LG a
Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
Phương pháp giải:
- Xét trường hợp a=1, kiểm tra xem hàm số có luôn đồng biến hay không.
- Trường hợp a≠1, hàm số luôn đồng biến trên R nếu y′≥0 với mọi x∈R.
Lời giải chi tiết:
Ta có: y′=(a−1)x2+2ax+3a−2.
+) Với a=1,y′=2x+1 đổi dấu khi x đi qua −12.
Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với a≠1 thì với mọi x mà tại đó y′≥0⇔{a−1>0Δ′≤0
⇔{a>1a2−(a−1)(3a−2)≤0 ⇔{a>1a2−3a2+3a+2a−2≤0 ⇔{a>1−2a2+5a−2≤0
⇔{a>1[a≥2a≤12 ⇔a≥2
(khi a=2 thì y′=0 chỉ tại x=−2)
Vậy với a≥2 hàm số luôn luôn đồng biến.
LG b
Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y=0.
- Tìm điều kiện để phương trình đó có ba nghiệm phân biệt và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y=0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
y=0⇔(a−1)x33+ax2+(3a−2)x=0
⇔x[(a−1)x23+ax+3a−2]=0
⇔x[(a−1)x2+3ax+9a−6]=0⇔[x=0(a−1)x2+3ax+9a−6=0(∗)
y=0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
⇔{a−1≠0Δ>09a−6≠0 ⇔{a−1≠09a2−4(a−1)(9a−6)>09a−6≠0
⇔{a≠19a2−4(9a2−15a+6)>09a≠6 ⇔{a≠1−27a2+60a−24>0a≠23
⇔{a≠110−2√79<a<10+2√79a≠23
Vậy a∈(10−2√79;10+2√79)∖{1;23}.
LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a=32.
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: y=|x36+3x22+5x2|
Phương pháp giải:
- Thay a=32 vào được hàm số cần khảo sát.
- Khảo sát tóm tắt:
+ Tìm TXĐ.
+ Xét chiều biến thiên.
+ Vẽ đồ thị.
- Dựng đồ thị hàm số y=|f(x)| từ đồ thị hàm số y=f(x):
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.
Lời giải chi tiết:
Khi a=32 thì y=x36+3x22+5x2
Ta có: y′=x22+3x+52;y′=0⇔x2+6x+5=0⇔[x=−1x=−5
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Ta có:
y=|x36+3x22+5x2| ={x36+3x22+5x2neux36+3x22+5x2≥0−(x36+3x22+5x2)neux36+3x22+5x2<0
Từ đồ thị hàm số y=x36+3x22+5x2 ta suy ra ngay đồ thị hàm số y=|x36+3x22+5x2| như sau:
