Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
LG a
Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.
Phương pháp giải:
- Xét trường hợp \(a = 1\), kiểm tra xem hàm số có luôn đồng biến hay không.
- Trường hợp \(a \ne 1\), hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2\).
+) Với \(a = 1,y' = 2x + 1\;\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \( - \dfrac{1}{2}\).
Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi \(x\) mà tại đó \(y' \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {3a - 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - 3{a^2} + 3a + 2a - 2 \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
- 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a \ge 2\)
(khi \(a = 2\) thì \(y' = 0\;\) chỉ tại \(x = - 2\))
Vậy với \(a \ge 2\) hàm số luôn luôn đồng biến.
LG b
Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(y = 0\).
- Tìm điều kiện để phương trình đó có ba nghiệm phân biệt và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(y = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
\(y = 0\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x=0\)
\( \Leftrightarrow x\left[ {\dfrac{{(a - 1){x^2}}}{3} + ax + 3a - 2} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left[ {(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
\(y = 0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\\Delta > 0\\9a-6 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0\\9a - 6 \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 1\\
9{a^2} - 4\left( {9{a^2} - 15a + 6} \right) > 0\\
9a \ne 6
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 1\\
- 27{a^2} + 60a - 24 > 0\\
a \ne \frac{2}{3}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9} < a < \dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}\\a \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(a \in \left( {\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9};\dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}} \right)\backslash \left\{ {1;\dfrac{2}{3}} \right\}\).
LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số ứng với \(a = \dfrac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\)
Phương pháp giải:
- Thay \(a = \dfrac{3}{2}\) vào được hàm số cần khảo sát.
- Khảo sát tóm tắt:
+ Tìm TXĐ.
+ Xét chiều biến thiên.
+ Vẽ đồ thị.
- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\):
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.
Lời giải chi tiết:
Khi \(a = \dfrac{3}{2}\) thì \(y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x + \dfrac{5}{2}\);\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Ta có:
\(y =\left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\) \(= \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} \ge 0\\
- \left( {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right)\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} < 0
\end{array} \right.\)
Từ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}\) ta suy ra ngay đồ thị hàm số \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\) như sau:
