Giải bài 1.46 trang 22 SBT giải tích 12

155 lượt xem

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{1}{{\sin x + \cos x}}$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ là:

A. $1$ B. $2\sqrt 2$

C. $- \sqrt 2$ D. $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đánh giá GTNN của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y = \dfrac{1}{{\sin x + \cos x}}$ $= \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}$ .

Có $\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ .

Do đó $\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ hay $y \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ .

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ , dấu “=” xảy ra khi $x = \dfrac{\pi }{4}$ .

Chọn D.

SBT Toán lớp 12