Đề bài
Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = - 2t}\\{z = 7 + t}\end{array}} \right.\) và d1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t'}\\{y = - 2}\\{z = - 11 - t'}\end{array}} \right.\)
Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhận xét: Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Lời giải chi tiết
Hình 3.32
Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; - 2;1)\).
Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; - 1)\).
Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó: \(\overrightarrow {AB} = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a }\\{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow b = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0}\\{ - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5t - t' - 14 = 0}\\{t + 2t' + 10 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 2}\\{t' = - 4}\end{array}} \right.\)
Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)
Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 12; - 6; - 12)\). Chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;1;2)\)
Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
Chú ý:
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1 là là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {2;1;2} \right)\)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow a ,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right]\)\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { - 5;2;4} \right)\)
Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)
Để tìm \({d_1} \cap (Q)\) ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:
\(–5(–2 + t’) + 2(–2) +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\) \( \Rightarrow t' = 4\)
\( \Rightarrow {d_1} \cap \left( Q \right) = B\left( { - 6; - 2; - 7} \right)\)
Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và đường vuông góc chung AB.
Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}} = ( - 1;4; - 1)\)
Phương trình của (R) là \( –x + 4y – z – 5 = 0\).
Suy ra \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)
