Đề bài
Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=(m−1)x4−mx2+3 có đúng một cực trị.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính y′.
- Điều kiện để hàm số đã cho có đúng một cực trị là phương trình y′=0 có nghiệm duy nhất x=0.
Lời giải chi tiết
+) Với m=1 thì y=−x2+3 là hàm đa thức bậc hai luôn có một cực trị nên thỏa mãn.
+) Với m≠1 thì hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương có:
y′=4(m−1)x3−2mx=2x[2(m−1)x2−m]
y′=0⇔[x=02(m−1)x2−m=0 ⇔[x=0x2=m2(m−1)(1)
Hàm số có đúng một cực trị khi y′=0 có đúng một nghiệm, tức là:
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=0 hoặc vô nghiệm ⇔[m=0m2(m−1)<0 ⇔[m=00<m<1⇔0≤m<1.
Kết hợp với m=1 ở trên ta được 0≤m≤1.
Vậy với 0≤m≤1 hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
