Đề bài
Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng mình các điểm B, D, B', C', D' cùng nhìn AC một góc \(90^0\).
b) Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\).
Công thức tính thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\displaystyle \left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\Rightarrow BC \bot (SAB) \) \(\displaystyle \Rightarrow BC \bot AB'\)
Ta lại có \(\displaystyle AB' \bot SC\) nên suy ra \(\displaystyle AB' \bot (SBC)\). Do đó \(\displaystyle AB' \bot B'C\)
Chứng minh tương tự ta có \(\displaystyle AD' \bot D'C\).
Vậy \(\displaystyle \widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} \) \(\displaystyle = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)
Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.
b) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có \(\displaystyle r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy \(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = 2\pi {a^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\) \(\displaystyle = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^3} \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \)
