Giải bài 1.25 trang 16 SBT giải tích 12

150 lượt xem

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số sau không có cực trị: $y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}$ , TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$ .

$y' = \dfrac{{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$

Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên $D$ .

Xét $g\left( x \right) = {x^2}-2mx-2{m^2} + 3$ là tam thức bậc hai hệ số $a > 0$ nên nếu nó không đổi dấu với mọi $x \ne m$ thì $\Delta ' = {m^2} + 2{m^2} - 3 \le 0$ $\Leftrightarrow 3{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1$ .

Khi $-1 < m < 1$ thì phương trình $g\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hay $y' = 0$ vô nghiệm và $y'\; > 0$ với mọi $x \ne m$ . Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi $m = 1$ hoặc $m = - 1$ , hàm số đã cho trở thành $y = x + 3$ (với $x \ne 1$ ) hoặc $y = x-3$ (với $x \ne - 1$ ). Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi $-1 \le m \le 1$ .

SBT Toán lớp 12