Đề bài
Cho \(z\) là một số phức tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z \)
B. \(z\) thuần ảo \( \Leftrightarrow z + \overline z = 0\)
C. \(\dfrac{z}{{\overline z }} - \dfrac{{\overline z }}{z} \in \mathbb{R}\left( {z \ne 0} \right)\)
D. \({z^3} + {\left( {\overline z } \right)^3} \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng định nghĩa số thực và số thuần ảo.
Lời giải chi tiết
Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).
Đáp án A: \(z = \overline z \Leftrightarrow a + bi = a - bi \Leftrightarrow b = 0\) hay \(z \in \mathbb{R}\).
A đúng.
Đáp án B: \(z + \overline z = 0 \Leftrightarrow a + bi + a - bi = 0\) \( \Leftrightarrow a = 0\) hay \(z = bi\) là số thuần ảo.
B đúng.
Đáp án D: Xét \(w = {z^3} + {\left( {\overline z } \right)^3}\) thì \(\overline w = \overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} \) \( = \overline {{z^3}} + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} = {\left( {\overline z } \right)^3} + {z^3} = w\)
Vậy \(\overline w = w\) hay \(w = {z^3} + {\left( {\overline z } \right)^3} \in \mathbb{R}\).
D đúng.
Chọn C.
