Tìm cực trị của các hàm số sau:
LG a
\(y = \sin 2x\)
Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).
- Tính \(y''\) và xét dấu của \(y''\) tại các điểm tìm được ở trên.
- Kết luận:
+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu âm thì là điểm cực đại.
+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
\(y = \sin 2x\)
Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)
Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:
\(y' = 2\cos 2x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)
Mà \( x\in [0;\pi] \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Lại có: \(y'' = - 4\sin 2x\);
\(y''\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 4\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1\)
\(y''\left( {\dfrac{3\pi }{4}} \right) = - 4\sin \left( {2.\dfrac{3\pi }{4}} \right) = 4 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \dfrac{3\pi }{4}\) và \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1\)
Vậy trên R ta có:
\({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;\)
\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in Z\)
Cách khác:
y = sin2x
Hàm số có chu kỳ T = π
Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:
y' = 2cos2x
y' = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD = y(π/4) = 1; yCT = y(3π/4) = −1
Vậy trên R ta có:
yCĐ = y(π/4 + kπ) = 1;
yCT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z.
LG b
\(y = \cos x - \sin x\)
Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)
- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).
- Tính \(y''\) và xét dấu của \(y''\) tại các điểm tìm được ở trên.
- Kết luận:
+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu âm thì là điểm cực đại.
+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
Hàm số tuần hoàn chu kỳ \(\pi\) nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).
Ta có: \(y' = - \sin x - \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x = - \cos x\) \( \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Do \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\).
Lại có \(y'' = - \cos x + \sin x\);
+) \(y''\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 < 0\) nên \(x = - \dfrac{\pi }{4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \).
+) \(y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) + \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 2 > 0\) nên \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 \).
Vậy trên \(\mathbb{R}\) thì \({x_{CD}} = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \sqrt 2 \); \({x_{CT}} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) = - \sqrt 2 \)
Cách khác:
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].
y′ = − sinx – cosx
y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z
Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]
Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và
yCĐ = y(−π4 + k2π) = √2;
yCT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).
LG c
\(y = {\sin ^2}x\)
Phương pháp giải:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).
- Lập bảng biến thiên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\)
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).
Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\).
y′ = sin2x
\(y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \end{array} \right.\).
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với \(k\) chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với \(k \) lẻ, và \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0\); \({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\).
