Đề bài
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:
A. Hàm số \(y = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\) là hàm số chẵn.
B. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai tiệm cận đứng.
C. Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) luôn luôn nghịch biến.
D. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x\,\,\text{với}\,\,x \ge 0\\\sin \dfrac{x}{3}\,\,\text{với}\,\,x < 0\end{array} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng các kiến thức về hàm số chẵn, lẻ, tiệm cận của đồ thị hàm số, tính đơn điệu và sự tồn tại của đạo hàm đã học ở lớp 11.
Lời giải chi tiết
Đáp án A: Xét \(f\left( x \right) = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = 4\cos \left( { - x} \right) - 5{\sin ^2}\left( { - x} \right) - 3\) \( = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3 = f\left( x \right)\)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
A đúng.
Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai đường TCĐ là \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}\) và \(x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {29} }}{2}\).
B đúng.
Đáp án C: Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) có \(y' = \dfrac{{17}}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - \dfrac{4}{3}\) nên luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{4}{3}} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{4}{3}; + \infty } \right)\).
C sai.
Đáp án D: Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) nên ta kiểm tra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) có tồn tại hay không.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x - 0}}{{x - 0}} = - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{3} - 0}}{{x - 0}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{3}}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{\sin \dfrac{x}{3}}}{{\dfrac{x}{3}}}.\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).
D đúng.
Chọn C.
