Đề bài
Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất \(4\) đỉnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa hình đa diện:
Hình \(\left( H \right)\) gồm các hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
+ Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Lời giải chi tiết
Gọi \({M_1}\) là một mặt của hình đa diện\(\left( H \right)\) chứa ba đỉnh \(A,B,C\).
Khi đó \(AB,BC\) là hai cạnh của \(\left( H \right)\).
Gọi \({M_2}\) là mặt khác với \({M_1}\) và có chung cạnh \(AB\) với \({M_1}\).
Khi đó \({M_2}\) còn có ít nhất một đỉnh \(D\) khác với \(A\) và \(B\).
Nếu \(D \equiv C\) thì \({M_1}\) và \({M_2}\) có hai cạnh chung \(AB\) và \(BC\) (vô lý).
Vậy \(D\) phải khác \(C\). Do đó \(\left( H \right)\) có ít nhất bốn đỉnh \(A,B,C,D\).
Chú ý:
Có thể lấy ví dụ minh họa như sau:
+ Ba điểm phân biệt bất kì thì chỉ xác định được một mặt phẳng chứ không xác định được một hình đa diện.
+ Bốn điểm không đồng phẳng thì xác định được tình tứ diện nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
