Đề bài
Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa hình đa diện:
Hình (H) gồm các hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
+ Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Lời giải chi tiết
Gọi M1 là một mặt của hình đa diện(H) chứa ba đỉnh A,B,C.
Khi đó AB,BC là hai cạnh của (H).
Gọi M2 là mặt khác với M1 và có chung cạnh AB với M1.
Khi đó M2 còn có ít nhất một đỉnh D khác với A và B.
Nếu D≡C thì M1 và M2 có hai cạnh chung AB và BC (vô lý).
Vậy D phải khác C. Do đó (H) có ít nhất bốn đỉnh A,B,C,D.
Chú ý:
Có thể lấy ví dụ minh họa như sau:
+ Ba điểm phân biệt bất kì thì chỉ xác định được một mặt phẳng chứ không xác định được một hình đa diện.
+ Bốn điểm không đồng phẳng thì xác định được tình tứ diện nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
