Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:
LG câu a
a) π2∫0xcos2xdx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
b∫au(x)d(v(x)) =[u(x)v(x)]|ba−b∫av(x)d(u(x))
Lời giải chi tiết:
I=π2∫0xcos2xdx
Đặt {u=xdv=cos2xdx ⇒{du=dxv=sin2x2
⇒I=xsin2x2|π20−12π2∫0sin2xdx =12.cos2x2|π20=−14−14=−12
LG câu b
b) ln2∫0xe−2xdx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
b∫au(x)d(v(x)) =[u(x)v(x)]|ba−b∫av(x)d(u(x))
Lời giải chi tiết:
I=ln2∫0xe−2xdx
Đặt {u=xdv=e−2xdx ⇒{du=dxv=−e−2x2
⇒I=−xe−2x2|ln20+12ln2∫0e−2xdx =−ln2.e−2ln22−12.e−2x2|ln20 =−ln28+316
LG câu c
c) 1∫0ln(2x+1)dx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
b∫au(x)d(v(x)) =[u(x)v(x)]|ba−b∫av(x)d(u(x))
Lời giải chi tiết:
I=1∫0ln(2x+1)dx
Đặt {u=ln(2x+1)dv=dx ⇒{du=22x+1dxv=x
⇒I=xln(2x+1)|10−1∫02x2x+1dx =ln3−1∫0(1−12x+1)dx =ln3−(x−ln(2x+1)2)|10 =ln3−(1−ln32)=32ln3−1
LG câu d
d) 3∫2[ln(x−1)−ln(x+1)]dx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
b∫au(x)d(v(x)) =[u(x)v(x)]|ba−b∫av(x)d(u(x))
Lời giải chi tiết:
I=3∫2[ln(x−1)−ln(x+1)]dx =3∫2ln(x−1)dx−3∫2ln(x+1)dx =J−K với J=3∫2ln(x−1)dx và K=3∫2ln(x+1)dx.
+) Tính J=3∫2ln(x−1)dx.
Đặt {u=ln(x−1)dv=dx ⇒{du=dxx−1v=x
⇒J=xln(x−1)|32−3∫2xx−1dx =3ln2−3∫2(1+1x−1)dx =3ln2−(x+ln(x−1))|32 =3ln2−3−ln2+2 =2ln2−1.
+) Tính K=3∫2ln(x+1)dx.
Đặt {u=ln(x+1)dv=dx ⇒{du=dxx+1v=x
⇒K=xln(x+1)|32−3∫2xx+1dx =3ln4−2ln3−3∫2(1−1x+1)dx =6ln2−2ln3−(x−ln(x+1))|32 =6ln2−2ln3−3+ln4+2−ln3 =8ln2−3ln3−1.
⇒I=J−K =2ln2−1−(8ln2−3ln3−1) =3ln3−6ln2
LG câu e
e) 2∫12(1+x−1x)ex+1xdx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
b∫au(x)d(v(x)) =[u(x)v(x)]|ba−b∫av(x)d(u(x))
Lời giải chi tiết:
I=2∫12(1+x−1x)ex+1xdx=2∫12ex+1xdx+2∫12(x−1x)ex+1xdx =J+K với J=2∫12ex+1xdx và K=2∫12(x−1x)ex+1xdx
+) Tính J=2∫12ex+1xdx
Đặt {u=ex+1xdv=dx ⇒{du=(1−1x2)dxv=x
⇒J=xex+1x|212−2∫12(x−1x)ex+1xdx =xex+1x|212−K =2e52−12e52−K=32e52−K
Suy ra I=J+K =32e52−K+K=32e52.
LG câu g
g) π2∫0xcosxsin2xdx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
b∫au(x)d(v(x)) =[u(x)v(x)]|ba−b∫av(x)d(u(x))
Lời giải chi tiết:
I=π2∫0xcosxsin2xdx
Đặt u=x,dv=cosxsin2xdx ⇒du=dx. Ta tìm v=∫cosxsin2xdx.
Đặt sinx=t⇒dt=cosxdx
⇒∫cosxsin2xdx=∫t2dt =t33+C=sin3x3+C
Chọn v=sin3x3 ta có:
I=π2∫0xcosxsin2xdx=xsin3x3|π20−π2∫0sin3x3dx =π6−13π2∫0(1−cos2x)sinxdx =π6−13J
Đặt cosx=t⇒dt=−sinxdx
⇒J=0∫1(1−t2).(−dt) =1∫0(1−t2)dt =(t−t33)|10=23
Vậy I=π6−13J =π6−13.23=π6−29.
