Tìm số phức z, biết:
LG a
¯z=z3
Phương pháp giải:
Nhân cả hai vế với z và đặt z=a+bi, biến đổi phương trình suy ra a,b.
Lời giải chi tiết:
Ta có z¯z=|z|2 nên từ ¯z=z3⇒|z|2=z4
Đặt z=a+bi, suy ra:
a2+b2=(a+bi)4=[(a+bi)2]2⇔a2+b2=(a2−b2+2abi)2⇔a2+b2=a4+b4+(2abi)2−2a2b2−2b2.2abi+2a2.2abi⇔a2+b2=a4+b4−4a2b2−2a2b2−4ab3bi+4a3bi⇔a2+b2=a4+b4−6a2b2+4a2b2(a2−b2)i⇔a4+b4−6a2b2−a2−b2+4a2b2(a2−b2)i=0⇔{4a2b2(a2−b2)=0(1)a4+b4−6a2b2−a2−b2=0(2)
(1)⇔[a2=0b2=0a2−b2=0⇔[a=0b=0a2=b2
+) Nếu a=0 thay vào (2) được b4−b2=0⇔b2(b2−1)=0 ⇔[b2=0b2=1⇔[b=0b=±1
⇒[z=0z=iz=−i
+) Nếu b=0 thay vào (2) ta được a4−a2=0⇔a2(a2−1)=0 ⇔[a2=0a2=1⇔[a=0a=±1
⇒[z=0z=±1
+) Nếu a2=b2 thay vào (2) ta được:
a4+a4−6a4−a2−a2=0⇔−4a4−2a2=0 ⇔−2a2(2a2+1)=0⇔a2=0⇔a=0
(vì 2a2+1>0,∀a )
⇒b=a=0⇒z=0
Vậy các số phức cần tìm là z=0,z=±1,z=±i.
LG b
|z|+z=3+4i
Phương pháp giải:
Đặt z=a+bi thay vào điều kiện bài cho tìm a,b và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt z=a+bi. Từ |z|+z=3+4isuy ra
√a2+b2+a+bi=3+4i
⇔√a2+b2+a−3+(b−4)i=0 ⇔{√a2+b2+a−3=0b−4=0
Ta có: b−4=0⇔b=4 thay vào phương trình trên ta được:
√a2+16+a−3=0 ⇔√a2+16=3−a⇔{3−a≥0a2+16=9−6a+a2 ⇔{a≤36a+7=0⇔{a≤3a=−76 ⇔a=−76
⇒z=−76+4i
Vậy z=−76+4i.
