Đề bài
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - x - 12} \right) = 0\)
B. \( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\)
C. \({\sin ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)
D. \(\sin x - \cos x + 1 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Loại đáp án, xét các đáp án bằng cách giải mỗi phương trình và suy ra số nghiệm.
Lời giải chi tiết
Đáp án A: \(\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - x - 12} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\{x^2} - x - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\\x = 4\end{array} \right.\) nên phương trình có \(3\) nghiệm.
Đáp án B: Xét hàm \(f\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\) có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x - 3\) và \(\Delta ' = 1 - 9 = - 8 < 0\) nên \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) hay hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(f\left( 0 \right) = 2,f\left( 1 \right) = - 1\) nên \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\), hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên phương trình có nghiệm \({x_0} \in \left( {0;1} \right)\).
Kết hợp với hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\).
Chọn B.
