Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
LG a
{y=x+sinx,y=x với 0≤x≤π} và {y=x+sinx,y=x với π≤x≤2π}
Phương pháp giải:
Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: x+sinx=x⇔sinx=0⇔[x=0x=π
Khi đó S1=π∫0|x+sinx−x|dx =π∫0|sinx|dx =π∫0sinxdx=−cosx|π0 =−cosπ+cos0=1+1=2
S2=2π∫π|x+sinx−x|dx =2π∫π|sinx|dx =2π∫π(−sinx)dx=cosx|2ππ =cos2π−cosπ=1+1=2
Do đó S1=S2.
LG b
{y=sinx,y=0 với 0≤x≤π} và {y=cosx,y=0 với 0≤x≤π};
Phương pháp giải:
Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.
Giải chi tiết:
S1=π∫0|sinx|dx=π∫0sinxdx =−cosx|π0=−cosπ+cos0=1+1=2
S2=π∫0|cosx|dx =π2∫0|cosx|dx+π∫π2|cosx|dx =π2∫0cosxdx−π∫π2cosxdx =sinx|π20−sinx|ππ2
=sinπ2−sin0−sinπ+sinπ2 =1−0−0+1=2
Do đó S1=S2.
LG c
{y=√x,y=x2} và {y=√1−x2,y=1−x}
Phương pháp giải:
Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: √x=x2⇔{x≥0x=x4 ⇔{x≥0x(x3−1)=0 [x=0x=1
Khi đó S1=1∫0|√x−x2|dx =|1∫0(√x−x2)dx| =|(23x32−x33)|10|=|23−13|=13
√1−x2=1−x ⇔{1−x≥01−x2=(1−x)2 ⇔{x≤11−x2=1−2x+x2
⇔{x≤12x2−2x=0 ⇔{x≤1[x=0x=1⇔[x=0x=1
Khi đó S2=1∫0|√1−x2−(1−x)|dx =1∫0|√1−x2−1+x|dx =|1∫0(√1−x2−1+x)dx|
=|1∫0√1−x2dx−1∫0dx+1∫0xdx| =|1∫0√1−x2dx−1+12| =|I−12|
Tính I=1∫0√1−x2dx.
Đặt x=sint⇒dx=costdt ⇒I=π2∫0√1−sin2t.costdt =π2∫0cos2tdt
=12π2∫0(1+cos2t)dt =12(t+sin2t2)|π20 =12.π2=π4
Do đó S1≠S2.
