Đề bài
Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:
a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin xdx} + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \)
b) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}} \right)dx} = 0\)
c) \(\int\limits_{ - \dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}} {\ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}dx} = 0\)
d) \(\int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1} \right)dx} = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính đúng sai của mỗi đáp án bằng cách tính các tích phân, sử dụng kiến thức các bài tập trước đã làm.
Lời giải chi tiết
a) Đúng (vì vế trái bằng \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0} \))
b) Đúng vì \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt[3]{{\sin x}}dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt[3]{{\cos x}}dx} \) (theo bài 3.22) nên \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}} \right)dx} = 0\).
c) Đúng vì hàm số \(f\left( x \right) = \ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}\) là hàm số lẻ nên \(\int\limits_{ - \dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}} {\ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}dx} = 0\) (theo bài 3.21).
Chú ý: Cách chứng minh hàm số lẻ: Kiểm tra \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) trên tập xác định \(D\) đối xứng.
d) Sai: Vì \(1 + \dfrac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]\).
